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多項(xiàng)式長(zhǎng)除法與偽除法：算法解析與區(qū)別

在多項(xiàng)式運(yùn)算中，長(zhǎng)除法與偽除法是兩種常用的方法，用于求解多項(xiàng)式除法問(wèn)題。盡管它們的目的相似，即找到一個(gè)商多項(xiàng)式和余數(shù)多項(xiàng)式，使得被除多項(xiàng)式可以表示為除多項(xiàng)式與商多項(xiàng)式的乘積加上余數(shù)多項(xiàng)式的形式，但它們?cè)谒惴▽?shí)現(xiàn)和結(jié)果解釋上存在一些關(guān)鍵差異。

一、多項(xiàng)式長(zhǎng)除法

多項(xiàng)式長(zhǎng)除法是一種直接且直觀的方法，類似于整數(shù)長(zhǎng)除法。它逐步將除多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)與被除多項(xiàng)式的相應(yīng)項(xiàng)對(duì)齊，然后逐項(xiàng)相減，直到得到余數(shù)多項(xiàng)式為止。

算法步驟：

1. 將被除多項(xiàng)式和除多項(xiàng)式按降冪排列。

2. 初始化商多項(xiàng)式和余數(shù)多項(xiàng)式。

3. 從被除多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)開(kāi)始，逐項(xiàng)進(jìn)行除法運(yùn)算，計(jì)算當(dāng)前的商，并更新余數(shù)多項(xiàng)式。

4. 重復(fù)上述步驟，直到余數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)低于除多項(xiàng)式的次數(shù)。

特點(diǎn)：

• 長(zhǎng)除法得到的商多項(xiàng)式和余數(shù)多項(xiàng)式是唯一確定的。

• 余數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)一定低于除多項(xiàng)式的次數(shù)。

• 長(zhǎng)除法適用于任何次數(shù)的多項(xiàng)式除法問(wèn)題。

二、多項(xiàng)式偽除法

多項(xiàng)式偽除法是一種特殊的多項(xiàng)式除法方法，它引入了一個(gè)乘數(shù)m，使得被除多項(xiàng)式乘以m后可以更容易地進(jìn)行除法運(yùn)算。乘數(shù)m是除多項(xiàng)式最高次項(xiàng)系數(shù)的某個(gè)冪次，這個(gè)冪次與被除多項(xiàng)式和除多項(xiàng)式的次數(shù)差有關(guān)。

算法步驟：

1. 計(jì)算乘數(shù)m。

2. 將被除多項(xiàng)式乘以m，得到新的被除多項(xiàng)式。

3. 初始化偽商多項(xiàng)式和偽余數(shù)多項(xiàng)式。

4. 從新的被除多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)開(kāi)始，逐項(xiàng)進(jìn)行除法運(yùn)算，計(jì)算當(dāng)前的商，并更新偽余數(shù)多項(xiàng)式。

5. 重復(fù)上述步驟，直到偽余數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)低于除多項(xiàng)式的次數(shù)。

特點(diǎn)：

• 偽除法得到的偽商多項(xiàng)式和偽余數(shù)多項(xiàng)式不是唯一確定的，因?yàn)樗鼈円蕾囉诔藬?shù)m的選擇。

• 偽余數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)也一定低于除多項(xiàng)式的次數(shù)。

• 偽除法在某些特定情況下（如求解多項(xiàng)式的最大公因式或進(jìn)行多項(xiàng)式因式分解時(shí)）可能更為方便或有效。

三、長(zhǎng)除法與偽除法的區(qū)別

1. 乘數(shù)m的引入：長(zhǎng)除法不需要引入乘數(shù)m，而偽除法則需要根據(jù)除多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)和次數(shù)差來(lái)計(jì)算乘數(shù)m。

2. 結(jié)果唯一性：長(zhǎng)除法得到的商多項(xiàng)式和余數(shù)多項(xiàng)式是唯一確定的，而偽除法得到的偽商多項(xiàng)式和偽余數(shù)多項(xiàng)式則不是唯一確定的，因?yàn)樗鼈円蕾囉诔藬?shù)m的選擇。

3. 應(yīng)用場(chǎng)景：長(zhǎng)除法適用于任何次數(shù)的多項(xiàng)式除法問(wèn)題，而偽除法在某些特定情況下可能更為方便或有效，如求解多項(xiàng)式的最大公因式或進(jìn)行多項(xiàng)式因式分解時(shí)。

4. 算法復(fù)雜度：從算法復(fù)雜度的角度來(lái)看，長(zhǎng)除法和偽除法的計(jì)算量大致相當(dāng)，都需要進(jìn)行多次的乘法和減法運(yùn)算。然而，由于偽除法需要計(jì)算乘數(shù)m并乘以被除多項(xiàng)式，因此在某些情況下可能會(huì)引入額外的計(jì)算量。

綜上所述，多項(xiàng)式長(zhǎng)除法和偽除法是兩種不同的多項(xiàng)式除法方法，它們各有特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)景。在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以根據(jù)具體問(wèn)題的需求選擇合適的方法來(lái)進(jìn)行多項(xiàng)式除法運(yùn)算。

北太天元代碼: 

% 示例使用
 P = [1 0 2]; % 被除多項(xiàng)式 x^2 + 0*x +2 
 Q = [2 sqrt(2)];       % 除多項(xiàng)式 
 2x+sqrt(2) [quotient, remainder] = longDivision(P, Q); 
 
 disp('Quotient:');
  disp(quotient); 
  disp('Remainder:'); 
 disp(remainder); 
 
 % Example usage: 
 P = [1 0 2]; % 被除多項(xiàng)式 x^2 + 0*x +2 
 Q = [2 sqrt(2)];       % 除多項(xiàng)式 2x+sqrt(2) 
 %pseudo division 會(huì)得到 2 (x^2 +3 ) = (2*x+1) 
 [m, quotientCoefficients, remainderCoefficient] = pseudoDivision(P, Q); 
 
 % Display the results disp('m:'); 
 disp(m); 
 disp('Quotient Coefficients:'); 
 disp(quotientCoefficients); 
 disp('Remainder Coefficient:'); 
 disp(remainderCoefficient);
 
function [quotient, remainder] = longDivision(P, Q)     
% 確保P和Q是行向量    
P = P(:)';     
Q = Q(:)';     
   
% 獲取多項(xiàng)式的度數(shù)     
degP = length(P) - 1;     
degQ = length(Q) - 1;    
   
% 初始化商多項(xiàng)式和余多項(xiàng)式     
quotient = zeros(1, degP - degQ + 1);     
remainder = P;    
    
% 實(shí)際上是一般多項(xiàng)式除法迭代過(guò)程    
for i = degP :-1: degQ         
% 計(jì)算當(dāng)前的商，使用整個(gè)除多項(xiàng)式Q  %quotient的系數(shù)也要降冪排列         
% i-degQ 次 應(yīng)該排 (degP-degQ+1)-(i-degQ) =         quotient(degP - i + 1) = remainder(1) / Q(1);         
      
% 更新余多項(xiàng)式         
for j = 1 : degQ+1            
remainder(j) = remainder(j) - quotient(degP - i + 1) * Q(j);         
end         
       
% 更新余數(shù)（不移除首項(xiàng)，因?yàn)榭赡懿皇?）        
remainder = remainder(2:end);    
 end    
         
% 如果余多項(xiàng)式為空，則設(shè)置為零向量     
 if isempty(remainder)         
remainder = zeros(1, 1);    
 end 
end 
           
%偽除法命令用于對(duì)多元多項(xiàng)式P和Q關(guān)于變量x進(jìn)行偽除法運(yùn)算。 
%它返回一個(gè)偽余數(shù)r，使得關(guān)系式mP=Qq+r成立，其中m是乘數(shù)，q是偽商。r和q都是關(guān)于x的多項(xiàng)式，且 
 % r關(guān)于x的次數(shù)小于Q關(guān)于x的次數(shù)。乘數(shù)m定義為Q關(guān)于x的最高次項(xiàng)項(xiàng)系數(shù)的（a關(guān)于x的次數(shù)減去b關(guān)于x的次數(shù)再加1）次冪，并且m與x無(wú)關(guān)。
           
function [m, q, r] = pseudoDivision(P, Q)     
% 檢查輸入     
if isempty(P) || isempty(Q)        
error('P和Q都不能為空');    
end     
              
 % 獲取P和Q的次數(shù)     
 degP = length(P) - 1;     
degQ = length(Q) - 1;     
              
% 檢查Q的次數(shù)是否大于0     
if degQ == 0        
error('除式Q的次數(shù)必須大于0');    
end     
                
% 計(jì)算乘數(shù)m     
m = Q(1) ^ (degP - degQ + 1);     
                
% 初始化偽商q和偽余數(shù)r     
q = zeros(1, degP - degQ + 1);     
r = zeros(1, degP + 1);     
r(1:degP + 1) = m*P;     
                
% 偽除法過(guò)程    
for k = degP:-1:degQ         
                 
% 計(jì)算當(dāng)前步的商         
q(degP -k + 1) = r(1) / Q(1);         
                 
% 更新余數(shù)        
for j = 1:degQ+1             
r(j) = r(j) - q(degP -k + 1) * Q(j);         
end        
 r = r(2:end);     
 end     
                   
% 去除余數(shù)中前導(dǎo)的零項(xiàng)     
r = r(find(r, 1, 'first'):end);     
                   
% 如果r完全為零，則返回一個(gè)空數(shù)組    
 if all(r == 0)        
r = [];     
end 
end